la raiz cuadrada: Propiedades generales

La función raíz cuadrada $f(x) = \sqrt{x}$ es una función cuyo dominio e imagen es el conjunto $\left[0,\infty\right)$ (el conjunto de todos los números reales no negativos). Esta función regresa un valor que es único. Las siguientes propiedades de la raíz cuadrada son válidas para todos los números reales no negativos x, y:

$\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$
$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$
La función raíz cuadrada, en general, transforma números racionales en números algebraicos; $\sqrt x$ es racional si y sólo si $x\,$ es un número racional que puede escribirse como fracción de doscuadrados perfectos. Si el denominador es $1^2 = 1\,$ , entonces se trata de un número natural. Sin embargo, $\sqrt 2$ es irracional.
La interpretación geométrica es que la función raíz cuadrada transforma la superficie de un cuadradoen la longitud de su lado.
Contrariamente a la creencia popular, $\sqrt{x^2}$ no necesariamente es igual a $x$ . La igualdad se mantiene sólo para los números no negativos $x$ , pero cuando $x < 0$ , $\sqrt{x^2}$ es un número positivo, y entonces $\sqrt{x^2} = -x$ . Por lo tanto, $\sqrt{x^2} = \left|x\right|$ para todos los números reales $x$ (véase valor absoluto).
Suponga que $x$ y $a$ son números reales, y que $x^2 = a$ , y se desea encontrar $x$ . Un error muy común es "tomar la raíz cuadrada" y deducir que $x = \sqrt a$ . Esto es incorrecto, porque la raíz cuadrada de $x^2$ no es $x$ , sino el valor absoluto $\left| x \right|$ , una de las reglas descritas anteriormente. Luego entonces, todo lo que se puede concluir es que $\left| x \right| = \sqrt a$ , o equivalentemente $x = \pm\sqrt a$ .
En cálculo, cuando se prueba que la función raíz cuadrada es continua o derivable, o cuando se calculan ciertos límites, la siguiente igualdad es muy útil (consiste en multiplicar y dividir por el conjugado, véase Binomio conjugado):

$\sqrt x - \sqrt y = \frac{x-y}{\sqrt x + \sqrt y}$

y es válida para todos los números no negativos $x$ e $y$ que no sean ambos cero.

La función $\sqrt x$ es continua para todos los números no negativos $x,$ y derivable para todos los números positivos $x$ (no es derivable para $x=0$ ya que la pendiente de la tangente ahí es ∞). Su derivada está dada por

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}$

Las Series de Taylor de $\sqrt{x+1}$ en torno a $x=0$ se pueden encontrar usando el Teorema del binomio:

$\sqrt{x+1}\,\!$	$= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^2 4^n}x^n$
	$= 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots$
converge para $\left\| x \right\| < 1$ .